El manejo de las coordenadas en los catastros

Introducción

El presente artículo reúne algunos fundamentos, conceptos y ejemplos numéricos presentados de manera simple, sobre temas relacionados con la geodesia y cartografía, que son indispensables conocer a la hora de administrar los datos de posición que configuran la geometría de las parcelas y otros objetos territoriales legales.

Sistemas de proyección cartográfica

En el ámbito de las geo-tecnologías las medidas lineales, angulares y superficiales  derivan de las coordenadas de los puntos o de los extremos de las líneas que forman figuras cerradas. A su vez, los datos de posición se refieren a un marco de referencia geodésico determinado y se expresan usualmente a través de sistemas de coordenadas geográficas (latitud, longitud) y planas (X, Y o Norte y Este).

La utilización de uno u otro sistema de coordenadas depende del tamaño del área a cubrir, pudiendo ser desde un país, provincia o municipio hasta parcelas individuales. Por ejemplo, para un país o provincia lo usual es emplear coordenadas geográficas y para cubrir áreas más pequeñas coordenadas proyectadas o planas, dónde no se toma en consideración la curvatura terrestre. Las primeras tienen la ventaja de permitir una representación continua del territorio, en tanto que las segundas no. La latitud y longitud se indican en grados sexagesimales traducidas a grados decimales para su gestión en Sistemas de Información Territorial o Catastral (SIT / C), en tanto que las coordenadas X, Y se indican en metros, motivo por el cual son utilizadas en trabajos de edición de datos y para medir, distancias, perímetros o áreas.

Dado el extensivo uso del posicionamiento satelital GNSS y su combinación con métodos topográficos clásicos, es habitual que los resultados de las mediciones de campo obtenidos en coordenadas geodésicas (latitud, longitud y altura elipsoidal) sean convertidos y tratados en coordenadas planas. Dichos valores provienen de sistemas de proyección cartográfica, por lo que se debe ser consciente de las deformaciones lineales y superficiales que su uso trae aparejado.

Estos sistemas permiten establecer una correspondencia biunívoca entre un modelo matemático representativo de la superficie de la Tierra (elipsoide de revolución) y un plano de proyección, de manera de poder asociar a cada par de coordenadas geográficas latitud y longitud, un par de coordenadas rectangulares X, Y. Pero todo pasaje de posiciones del elipsoide a un plano introduce algún tipo de deformación, que puede afectar a las distancias, las formas (ángulos) y las áreas, y las proyecciones solo permiten conservar solo una de estas tres propiedades en detrimento de las otras dos.

Proyección cartográfica

De interés particular en el ámbito catastral son las proyecciones conformes, que son aquellas que conservan las formas en áreas de tamaño reducido. Esto equivale a decir que los ángulos en el plano de proyección son iguales que en el elipsoide, el cual a los fines prácticos puede considerarse el terreno.

En cuanto a las dimensiones lineales, la deformación se cuantifica por el factor de escala (FE), que es el cociente entre la distancia cartográfica o sobre el plano de proyección y la distancia geodésica sobre el elipsoide. El FE es función de los parámetros del elipsoide, la latitud, y el apartamiento de los puntos del meridiano central (MC) de la faja o zona.

En las siguientes figuras y tablas, se pueden observar los valores de los FE para la proyección Gauss-Krüger (de uso oficial) y Mercator Transversa Universal (UTM) en Argentina. Dichos valores se reducen en la medida que aumenta la latitud porque los arcos de paralelo se acortan hacia los polos.

Lat. / Dif. Long.	0° 30’	1°	1° 30’
22°	1.000033	1.000131	1.000295
38°	1.000024	1.000095	1.000213
54°	1.000013	1.000053	1.000118

Factor de escala para la Proyección Gaüss-Kruger

Lat. / Dif. Long.	1°	2°	3°
22°	0.999732	1.000127	1.000785
38°	0.999695	0.999980	1.000455
54°	0.999653	0.999811	1.000074

Factor de escala para la Proyección UTM

Observando los datos de las tablas vemos que para una latitud media Argentina, el FE para la proyección Gauss-Krüger a 1° 30’ del meridiano central es 1.000213, que representa unos 20 cm. por kilómetro y equivale a un error relativo de 1/5.000; en tanto que para la proyección UTM a la misma latitud y en el borde de la zona tenemos un valor 1.000455, unos 45 cm. por kilómetro que significa un error relativo de 1/2.222, ambos valores muy por debajo de la exactitud que pueden alcanzar los métodos topográficos clásicos y el posicionamiento satelital GNSS.

A esta altura podemos preguntarnos el porqué de tales deformaciones, es que la idea de estas proyecciones es permitir la producción de cartografía a escalas iguales o menores que 1:25.000, de manera que el impacto de las deformaciones sean despreciables pero en el plano de la percepción visual. Al respecto, se sugiere la lectura del breve artículo titulado ¿Porqué las fajas Gauss-Krüger tienen 3° de ancho?. 

Escala y exactitud posicional

Resulta oportuno detenerse en el hecho que las proyecciones cartográficas fueron creadas hace más de 500 años con el propósito de elaborar mapas y cartas náuticas para la navegación. Nacieron para el mundo analógico y, por consiguiente, ligadas al concepto de escala. En ese contexto, el fundamento del error en la cartografía es de naturaleza gráfica y se requiere para establecerlo conocer el límite de la percepción visual, que es la distancia mínima a la que el ojo está preparado para ver dos puntos separados, usualmente entre 0.2 y 0.3 mm., y su relación con el límite de apreciación gráfica que es el resultado de multiplicar la variable anterior por el denominador de escala.

Escala	Error gráfico (adopt. 0.25 mm.) (en metros)
1:1000	0.25
1:5000	1.25
1:10000	2.50
1:25000	6.25

Pero con el advenimiento de la computación gráfica primero y las geo-tecnologías después, la escala ha perdido relevancia. Basta pensar que en un CAD, SIG o SIT / C, no medimos la distancia entre objetos en términos de escala, sino como diferencia de los valores numéricos de las coordenadas, entonces se comprenderá mejor porqué es más importante conocer la exactitud con que se determinan las mismas.

Al respecto podemos mencionar las normas técnicas, que suelen expresar con diferentes indicadores de exactitud o precisión (*) con que deben determinarse las coordenadas de los vértices de las parcelas y otros objetos territoriales legales. La exactitud posicional se asume generalmente como externa o absoluta (ISO, 2013), ya que la incertidumbre en la determinación de las coordenadas se evalúa respecto al marco de referencia geodésico utilizado.

Distancias geodésica, cartográfica y sobre el terreno

La mejor manera para diferenciarlas, es tener en cuenta la superficie a la que se encuentran referidas, por ejemplo: 

1. la distancia geodésica al elipsoide;
2. la distancia cartográfica al plano de proyección; y
3. la distancia sobre el terreno reducida al horizonte y plano local. 

Además tenemos la distancia espacial o inclinada referida al terreno con su desnivel natural, pero no es utilizada para las representaciones cartográficas ni en planos. 

Distancia geodésica (DG), cartográfica (DC) y terreno (DT)

La distancia geodésica es la línea curva de longitud mínima que une dos puntos con latitud y longitud conocidas, o un punto fijo y una dirección dada sobre la superficie del elipsoide.  Aquí cabe considerar que la influencia que tiene la corrección entre el arco del elipsoide y la cuerda es de 1 mm. para una distancia de 10 km., por lo que puede despreciarse para la gran mayoría de aplicaciones prácticas.

Como ya señalamos, la distancia cartográfica está referida a un plano de proyección que puede ser tangente (GK Argentina) o secante (UTM) al meridiano central, siendo por lo tanto una línea recta y plana que une dos puntos con coordenadas conocidas.

La distancia sobre el terreno o reducida al horizonte es la que utilizamos habitualmente cuando trabajamos localmente con los métodos topográficos clásicos. El inconveniente con estas magnitudes, es que su escala varía de conformidad a la altura del terreno. El siguiente cuadro nos da una idea de su influencia sobre las medidas lineales.

h (m.)	Coef. Altura	Corrección cm./km.
50	0.999992	-0.8
100	0.999984	-1.6
200	0.999969	-3.1
300	0.999953	-4.7
400	0.999937	-6.3
500	0.999922	-7.8
1000	0.999843	-15.7
1500	0.999765	-23.5
2000	0.999686	-31.4

Alturas elipsoidales, coeficientes y correcciones a las medidas lineales

Su empleo práctico podría limitarse cuando las correcciones a aplicar se encuentren por debajo de la precisión instrumental, o bien se trate de correcciones que queden absorbidas por las tolerancias o medidas de exactitud establecidas para el trabajo. No obstante, si consideramos que una precisión típica para una estación total es igual a unos  ± 5 mm. + 10 ppm, podremos observar que la influencia de la altura sobre el elipsoide (h) alcanza magnitudes que deberían tenerse en cuenta a partir de los 200 metros.

Ahora veamos cómo se relacionan las tres distancias que hemos considerado. Habíamos dicho que la deformación lineal se cuantifica por el FE que relaciona la distancia cartográfica y geodésica de la siguiente manera:

FE = DC / DG (1)

Entonces:

DC = DG x FE (2)

El referido Coeficiente de Altura de la tabla anterior se obtiene de la siguiente manera:

CA = Rm / Rm + h

Dónde: Rm ≈ 6.372.000 metros = radio medio terrestre; y h = altura elipsoidal media.

La distancia geodésica se relaciona con la del terreno a través de la siguiente ecuación:

DG = DT x CA

Si reemplazamos la distancia geodésica en la ecuación 2, obtenemos:

DC = DT x CA x FE

Dado que es muy común combinar métodos GNSS con topografía clásica, de esta manera podemos expresar nuestro trabajo en coordenadas planas, llevando las distancias medidas sobre la superficie topográfica al plano de proyección. El producto entre el coeficiente de altura y el factor de escala suele llamárselo factor combinado.

Alternativas para reducir las deformaciones

Para que las parcelas y otros objetos territoriales legales reflejen mejor la realidad del terreno, se puede recurrir a las siguientes opciones: 

•          Proyección Mercator Transversa Local (MTL), o
•          Sistema de Coordenadas Geodésico Local (SGL).

Ambas alternativas permiten reducir sensiblemente las deformaciones, en comparación al uso de proyecciones cartográficas utilizadas convencionalmente (**). La única condición es aplicarlas a superficies de tamaño reducido, porque en la medida que aumentamos el área, la reducción de las mediciones es más complicada e implica tener en cuenta la forma de la Tierra.

Para el caso de las proyecciones MT debe tenerse en cuenta que se adaptan mejoras a zonas con formas predominantes Norte-Sur, ya que en la medida en que más nos separamos del meridiano central más aumentan el FE y la convergencia plana de meridianos.

El SGL es tridimensional (3D) y se lo denomina usualmente por sus siglas en inglés e, n, u (este-norte-arriba). Es simplemente una traslación y rotación del sistema de coordenadas cartesianas 3D x,y,z, que no son proyectadas. No obstante un sistema e, n, u define un plano tangente al elipsoide de referencia en el origen local, dónde se proyectan los datos relevados (Meyer, Thomas H., 2002). Este tipo de coordenadas tienen la ventaja de adaptarse muy bien a las mediciones con estación total y GNSS, manteniendo una relación natural con la realidad física.    

Sistema de Coordenadas Geodésico Local

En este artículo, solo daremos ejemplos numéricos utilizando una proyección MTL, cuyo objetivo es producir distancias cartográficas que concuerden lo mejor posible con sus correspondientes distancias horizontales medidas en el terreno. Para tal fin es necesario:

• elegir el MC de la proyección en el centro del área de trabajo;
• si aplica, llevar el plano de proyección a la altura elipsoidal media de la zona, si no disponer dicho plano tangente al MC; y
• documentar la proyección.            

Para ubicar el MC lo recomendable es buscar, en lo posible, un valor entero, por ejemplo: -70° o -70° 30’. En cuanto a los metadatos de la proyección deben indicarse los siguientes parámetros:

• longitud de origen, que corresponde al valor asignado al MC;
• latitud de origen;
• falso este, valor en metros dado para la longitud de origen;
• falso norte, valor en metros dado para la latitud de origen; y
• factor de escala.

Para ilustrar desde la práctica estos conceptos, mostramos el siguiente ejemplo numérico.

Partiendo de las siguientes coordenadas geográficas de una parcela

  

Vértice	Latitud (°,’,”)	Longitud (°,’,”)
A	-45 43 32.3895	-67 38 20.1003
B	-45 43 28.3256	-67 31 40.0467
C	-45 44 44.1387	-67 31 35.0866
D	-45 45 15.8991	-67 31 35.0737
E	-45 46 11.7107	-67 31 34.7558
F	-45 46 14.3499	-67 38 15.0302

Calculamos sus coordenadas proyectadas en la faja convencional y utilizando un meridiano local

Coordenadas GK Faja 2
Vértice	X (m.)	Y (m.)
A	4935470.74	2605953.61
B	4935443.03	2614606.49
C	4933100.43	2614670.62
D	4932119.86	2614652.83
E	4930396.61	2614627.94
F	4930468.54	2605978.06

Los parámetros utilizados para la proyección local son los siguientes:

Longitud de origen: -67° 35’

Falso este: 100000 metros

Latitud de origen: -46°

Falso norte: 100000 metros

Factor de escala: 1

Coordenadas GK Faja/Meridiano local
Vértice	X (m.)	Y (m.)
A	130490.60	95673.10
B	130616.07	104323.81
C	128275.34	104429.41
D	127294.77	104428.99
E	125571.64	104434.63
F	125490.31	95786.12

Las diferencias en las medidas de los lados son:

Lados	Faja 2	Faja Local	Diferencia (m.)
A-B	8652.92	8651.62	+1.30
B-C	2343.48	2343.11	+0.37
C-D	980.73	980.57	+0.16
D-E	1723.43	1723.14	+0.29
E-F	8650.18	8648.89	+1.29
F-A	5002.26	5001.57	+0.69

La comparación de las medidas angulares se muestra a continuación:

Vértice	Ángulos (°,’,”)
	Faja 2	Faja Local
A	89 32 11	89 32 10
B	91 45 06	91  45 08
C	177 23 33	177 23 32
D	180 12 43	180 12 43
E	90 21 04	90 21 05
F	90 45 23	90 45 22

Observar que se comprueba la forma de las figuras, siendo los ángulos internos prácticamente iguales. Para que haya conformidad se necesitan dos condiciones: una que los meridianos y paralelos se corten en ángulo recto y otra que la escala sea igual en todas las direcciones alrededor de un punto.

Finalmente, las diferencias en la superficie arrojan el siguiente resultado:

Superficies (has, a, ca)
Faja 2	Faja local
4359 96 36	4358 65 47
+ 01 30 88

Unos 13.000 metros cuadrados en más.

Cabe señalar que las coordenadas proyectadas locales pueden configurarse, tanto en los programas de procesamiento de datos de observación GNSS como en los SIG.

Conclusiones

Las medidas más adecuadas para indicar en los planos de mensura (***) tienen respuesta en el sentido común: las que mejor se ajusten al terreno. Es así que el profesional deberá valorar en que caso utilizar las coordenadas proyectadas en las fajas convencionales o locales y considerar la influencia de la altura sobre el elipsoide cuando corresponda. Estos aspectos no suelen ser tenidos en cuenta en las normas técnicas sobre georreferenciación, por lo que podrían considerarse incluir algunas pautas orientativas al respecto.

Como hemos visto, el cálculo de medidas lineales y superficiales en un sistema de proyección local constituye una solución práctica al problema de las deformaciones que introducen las proyecciones cartográficas. El único inconveniente con esto son los múltiples orígenes para las coordenadas, que requiere tener documentado cada sistema de proyección.

Para la presentación digital (archivos *dxf, *gml, *gpkg, etc.) de las parcelas y otros objetos territoriales legales puede utilizarse faja convencional o extendida (si aplicara) para su carga en la base de datos del SIT/C. Por otro lado, para el cálculo de las medidas lineales y superficiales a indicar en los planos pueden utilizarse coordenadas proyectadas localmente o coordenadas locales e, n, u (ver siguiente gráfico). En cualquier caso, lo que no hay que perder de vista es que las coordenadas geodésicas permiten cualquier tipo de modelado, por lo que resulta indispensable conservarlas porque son únicas para un marco de referencia geodésico determinado.

Manejo de las coordenadas para la faz documental y de mantenimiento catastral

Referencias:

(*) Desviación estándar, Error medio cuadrático, Exactitud del 95%, Error circular del 95%, etc.

(**) Se refiere al uso de las proyecciones cartográficas con sus características y parámetros preestablecidos, por ejemplo, para la proyección Gauss-Krüger aplicada en Argentina, las 7 fajas numeradas en forma creciente de oeste a este, con meridianos de contacto en valores de longitud fijos, falso norte igual a 0 metros en el polo sur, etc.

(***) En otros países reciben distintos nombres, por ejemplo: plano catastral, plano predial, plano perimétrico, plano de agrimensura, mensura catastral, etc.

Fuentes consultadas:

Comité Nacional de una Unión Geodésica y Geofísica Internacional (CNUGGI) (1999). Sistemas Geodésicos, Primera Edición, https://www.ign.gob.ar/archivos/geodesia/sistemas_geodesicos.pdf

International Standard Organization (ISO) (2013). ISO 19157:2013 Geographic information — Data quality, https://www.iso.org/standard/32575.html

Ivars, Leonardo B. (2014). Tipos de distancia, Blog Café Geodésico,  https://cafegeodesico.blogspot.com/2014/04/tipos-de-distancia.html

Meyer, Thomas H. (2002). Grid, ground, globe: Distances in the GPS era. Surveying and Land Information Systems, Enero de 2002, https://www.researchgate.net/publication/289101489_Grid_ground_and_globe_Distances_in_the_GPS_era

Rodríguez, Rubén (2014). ¿Porque las fajas Gauss-Krüger tienen 3° de ancho?, Blog GeoNotas,  http://geonotas.blogspot.com/2014/05/por-que-las-fajas-gauss-kruger-tienen.html

Snyder, John P. (1987). Map Projections – A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395,  https://pubs.usgs.gov/pp/1395/report.pdf